Η θεωρία αριθμών θεωρείται η βασίλισσα των μαθηματικών και είναι διάσημη από το πλήθος των ανοιχτών / άλυτων προβλημάτων της των οποίων η διατύπωση είναι κατανοητή ακόμα και από ένα μαθητή του Γυμνασίου.
Ερωτήματα όπως:
α) Είναι άπειροι οι δίδυμοι πρώτοι αριθμοί ;
β) Γράφεται ο κάθε άρτιος αριθμός ως άθροισμα δυο πρώτων αριθμών ;
(εικασία Goldbach).
γ) Η ακολουθία Fibonacci έχει μεταξύ των όρων της άπειρους πρώτους αριθμούς ;
δ) Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν ανάμεσα στα τετράγωνα δυο διαδοχικών ακεραίων ;
ε) Είναι άπειροι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί ;
στ) Υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί ;
ζ) Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά μπορεί να λυθεί με τα στοιχειώδη μαθηματικά ;
η) Μετά από κάθε πρώτο αριθμό πόσο –το πολύ- διάστημα πρέπει να ψάξομε για να βρούμε τον επόμενο του ;
Και πολλά άλλα μένουν αναπάντητα παρόλο που η μαθηματική εμπειρία προδιαγράφει την απάντηση σε αυτά.
Η παρούσα εργασία είναι μια εκλαϊκευμένη προσπάθεια προσέγγισης , διερεύνησης και εποπτείας ορισμένων ανοιχτών προβλημάτων της θεωρίας των αριθμών.
Οι γνώσεις που απαιτούνται για την κατανόηση τους είναι του παραδοσιακού λυκείου. Για αυτό και ο τρόπος παρουσίασης των προβλημάτων είναι ο απλούστερος δυνατός με πολλές επεξηγήσεις και παραδείγματα.Ορισμένα προβλήματα εκτιμούμε ότι έχουν ολοκληρωμένες αποδείξεις ενώ σε διάφορα άλλα η προσέγγιση, διερεύνηση και εποπτεία γίνεται με αμφιμονοσήμαντους πίνακες μονότροπα οριζόμενους.
Η εργασία αυτή απευθύνεται όχι μόνο σε μαθηματικούς και σπουδαστές θετικών επιστημών, αλλά και στους πνευματικά ανήσυχους αναγνώστες , οι οποίοι νοσταλγούν την ομορφιά των λυκειακών μαθηματικών.
Ουσιαστικά δίδεται στους αναγνώστες μια δυνατότητα εξοικείωσης με τους πρώτους αριθμούς με στόχο την πιθανή ενασχόληση τους με αυτούς.
