Περιεχόμενα

1 Εισαγωγή

1.1

Η Φυσική στοιχειωδών σωματιδίων σήμερα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Δομή και επίπεδο βιβλίου, προτεινόμενη διεθνής βιβλιογραφία . . . . . . . . . .. . . 15

1.3 Σύστημα Mονάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Υπόβαθρο

2.1 Στοιχεία Ειδικής Σχετικότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1Ιστορική σημείωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2Aναλλοίωτα διαστήματα και κοσμικές γραμμές (invariant intervals and world

lines) . . . .. 21

2.1.3Αρχή της ”ακραίας γήρανσης” (principle of extremal aging) και νόμοι διατή-

ρησης . . . . 23

2.1.4Αναλλοίωτη μάζα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.5Συναλλοίωτη διατύπωση της Ειδικής Σχετικότητας . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.6 Συγκρούσεις σωματιδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.7

Ηλεκτρομαγνητισμός στον συναλλοίωτο φορμαλισμό . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Συμμετρίες - ομάδες Lie: σύντομη ανασκόπηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1

Μαθηματικά αξιώματα ομάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 Αναπαραστάσεις ομάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.3 Ομάδες καί άλγεβρες Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.4 Παραδείγματα ομάδων με φυσική σημασία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Σύντομη επισκόπηση της Φυσικής των σωματιδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.1

Θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις και νόμοι διατήρησης . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.2 Ταξινόμηση σωματιδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Kλασική Θεωρία Πεδίου

3.1 Η Αρχή της Ελάχιστης Δράσης και οι εξισώσεις Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1

Εξισώσεις Lagrange στην Κλασική Μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.2

Εξισώσεις Lagrange στη (σχετικιστική) θεωρία πεδίου . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 Παραδείγματα σχετικιστικών θεωριών πεδίου με φυσική σημασία. . . . . . . . . . 61

Βαθμωτά πεδία - η εξίσωση Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.2 Φερμιονικά, (spin- 12 ) πεδία - η εξίσωση Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.3 Διανυσματικά σωματίδια εσωτερικής στροφορμής 1 . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Νόμοι διατήρησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3.1

Θεώρημα της Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3.2 Θεώρημα της Noether στην Κλασική Θεωρία Πεδίου . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3.3 Χωροχρονικές συμμετρίες και τα σχετικά διατηρούμενα ρεύματα Noether

. 82

3.3.4 Νόμοι διατήρησης στην κβαντική φυσική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4 Αλληλεπιδρώσες θεωρίες πεδίου και συμμετρίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4.1

Αλληλεπιδρώσες θεωρίες βαθμωτών πεδίων και εσωτερικές συμμετρίες . . . 86

3.4.2 Η μέθοδος Gell-Mann-Levy για την λήψη του διατηρούμενου ρεύματος Noether και της συναλλοίωτης τετρααπόκλισής του σε περίπτωση μη ακριβούς συμμετρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4.3 Αυθόρμητη θραύση μιας συνεχούς συμμετρίας- το θεώρημα του Goldstone . . 96

3.4.4 Αυθόρμητη θραύση μιας ολικής Aβελιανής συμμετρίας: Το μοντέλο Goldstone 98

3.4.5 Αυθόρμητη θραύση μιας ολικής μη-Αβελιανής συμμετρίας . . . . . . . . . . . 100

3.4.6 Μερικές ολικές συμμετρίες που ενδιαφέρουν τη σωματιδιακή φυσική  . . . 104

3.5 Τοπικές συμμετρίες βαθμίδας και η αυθόρμητη θραύση τους . . . . . . . .  . . . . . 111

3.5.1

Κβαντική Ηλεκτροδυναμική και Αβελιανή συμμετρία βαθμίδας U(1) . . . . . 112

3.5.2 Βαθμωτή Ηλεκτροδυναμική και Αβελιανή συμμετρία βαθμίδας U(1) . . . . . 114

3.5.3 Αυθόρμητη θραύση τοπικής συμμετρίας U(1) (μοντέλο Higgs) και το φαινό-

μενο της υπεραγωγιμότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.5.4 Μη-Αβελιανές συμμετρίες βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.5.5 Αυθόρμητη θραύση μη-Αβελιανών συμμετριών βαθμίδας . . . . . . . . . . . . 122

3.6 Η Λαγκρανζιανή του Καθιερωμένου Προτύπου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.6.1 Το μοντέλο Ηλεκτρασθενούς ενοποίησης των Glashow, Salam και Weinberg . 127

3.6.2 Συμπεριλαμβάνοντας τα αδρόνια, και ”συμμετρία” κουάρκ-λεπτονίων . .. 134

3.6.3 Ισχυρές αλληλεπιδράσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.6.4 Μοτίβα θραύσης συμμετρίας στο Καθιερωμένο Πρότυπο . . . . . . . . . . . . 141

3.7 Διακριτές συμμετρίες C,P,T στο Καθιερωμένο Πρότυπο - θεώρημα CPT  . . . 143

3.7.1Μετασχηματισμός ισοτιμίας (Parity, P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.7.2Αναστροφή Χρόνου (Time Reversal, T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.7.3Σύζυγία Φορτίου (Charge Conjugation, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

3.7.4Διακριτές συμμετρίες και σπίνορες Dirac

3.7.5Το θεώρημα CPT  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4 Δεύτερη Κβάντωση  157

4.1 Γραμμική αλυσίδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.1.1Κλασική αντιμετώπιση της γραμμικής αλυσίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.1.2Κβάντωση της γραμμικής αλυσίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.2 Συνεχές όριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.2.1

Κλασική χορδή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.2.2 Κβαντική χορδή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.3 Κβάντωση της εξίσωσης του Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.3.1

Εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.4 Δυναμικές μεταβλητές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.5 Σύνδεση με τα ταυτοτικά σωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5 Κβάντωση ελεύθερων πεδίων

5.1 Βαθμωτά πεδία  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.1.1Αντισωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.1.2Βαθμωτό πραγματικό πεδίο: Κβάντωση και ανάπτυγμα Fourier . . . . . . . . . 185

5.2 Φερμιονικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.2.1

Ανάπτυγμα Fourier και κβάντωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.2.2 Φερμιονικός διαδότης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.3 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.3.1

Κλασική θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.1.3Χώρος του Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.1.4Μιγαδικό βαθμωτό πεδίο: Αντισωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.2 Φερμιονικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.2.1

Ανάπτυγμα Fourier και κβάντωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.2.2 Φερμιονικός διαδότης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.3 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.3.1

Κλασική θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.3.2 Βαθμίδα του Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.3.3 Κβάντωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.3.4 Εναλλακτική διατύπωση της κλασικής Ηλεκτροδυναμικής. . . . . . . . . . . . 198

5.3.5 Διαδότης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.3.6 Ανάπτυγμα του Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.3.7

Παρατηρήσεις σχετικά με τον διαδότη   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.3.8 Κανόνες Feynman για τα φωτόνια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6 Εικόνες

6.1 Εικόνες στην Κβαντική Μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.1.1

Εικόνα του Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.1.2 Εικόνα του Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.1.3 Εικόνα της αλληλεπίδρασης  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.2 Ακτινοβολία: παράδειγμα χρήσης της εικόνας αλληλεπίδρασης. . . . . . . . . . 210

UI (t) = ĤI′ (t)UI (t) : Ανάπτυγμα του Dyson . . . . . . . . . . . 211

6.3 Λύση της εξίσωσης i dt

6.4 Πίνακας σκέδασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7

Θεώρημα του Wick και εφαρμογές

7.1

Θεώρημα του Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.2 Εφαρμογή του θεωρήματος Wick: Σκέδαση μποζονίων . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.3 Εφαρμογή του θεωρήματος του Wick: διάσπαση σωματιδίου. . . . . . . . . . . . . 227

7.4 Κανονικοποιημένες κυματοσυναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.5 Υπολογισμοί στοιχείων πίνακα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.6 Εφαρμογή του θεωρήματος Wick: σκέδαση φερμιονίων . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7.7

Διαγράμματα Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7.7.1Γραφική παράσταση των διαγραμμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7.7.2Τιμή των διαγραμμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7.8 Εικονικά σωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7.9 Δοκιμές του καθιερωμένου προτύπου: Υπολογίζοντας πλάτη σκέδασης. . . . 247

7.9.1Γενικές έννοιες και μέθοδοι στην κβαντική θεωρία σκέδασης . . . . . . . . . . 248

7.9.2Εξίσωση Lehmann-Symanzik-Zimmermann (LSZ) για τα πλάτη κβαντικής

σκέδασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.9.3Σκέδαση σε επίπεδο δένδρου (Tree-level scattering) στην Κβαντική Ηλεκτρο-

δυναμική και αντιστοιχία με την κλασική Φυσική . . . . . . . . . . . . . . . . 257

7.9.4Σκέδαση στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις και το Καθιερωμένο Πρότυπο. . . 272

7.10 Μοναδιαία Πλάτη Σκέδασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8 Ολοκληρώματα διαδρομής

8.1 Ολοκλήρωμα διαδρομής στην Κβαντική Μηχανική       . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

8.2 Ολοκληρώματα διαδρομής ελεύθερων βαθμωτών πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . 292

8.3 Ολοκληρώματα διαδρομής αλληλεπιδρώντων βαθμωτών πεδίων . . . . . . . . . . . 296

8.3.1

Επανεξέταση της θεωρίας σκέδασης - ο μη τετριμμένος ρόλος μόνο των

συνδεδεμένων γραφημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

8.3.2 Διορθώσεις βρόχου στον (βαθμωτό) διαδότη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

8.3.3 Αυτοενέργεια της (επανακανονικοποιήσιμης) θεωρίας ϕ3 σε έξι διαστάσεις . 

8.3.4 Διορθώσεις βρόχου στην κορυφή της εξαδιάστατης θεωρίας ϕ3. . . . . . . . 322

8.3.5 Μια σύντομη σημείωση για τις υπέρυθρες (infrared (IR)) απειρίες . . . . . . 325

8.4 Ομάδα Επανακανονικοποίησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

8.4.1

Πρελούδιο στη προσέγγιση της Ομάδας Επανακανονικοποίησης: Σχήμα ελά-

χιστης αφαίρεσης για την αυτοενέργεια της εξαδιάστατης θεωρίας ϕ3 . . . . 328

8.4.2 Οι βασικές ιδέες και έννοιες της Ομάδας Επανακανονικοποίησης . . . . . . . 329

8.5 Ολοκληρώματα διαδρομής για μιγαδικά βαθμωτά πεδία . . . . . . . . . . . . . . . . 335

8.6 Ολοκληρώματα διαδρομής για πεδία φερμιονίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.6.1 Ολοκληρώματα διαδρομής για φερμιόνια Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.6.2 Ολοκληρώματα διαδρομής για φερμιόνια Majorana . . . . . . . . . . . . . . . 337

8.7 Ολοκληρώματα διαδρομής για θεωρίες βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

8.7.1Αβελιανές θεωρίες βαθμίδας: Ολοκλήρωμα διαδρομής για φωτόνια . . . . . 345

8.7.2Μη-Αβελιανές θεωρίες βαθμίδας: σύντομα σχόλια . . . . . . . . . . . . . . . 348

8.8 Ενεργές Θεωρίες Πεδίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

9 Χειραλική ανωμαλία  361

9.1 Παραβίαση του χειραλικού ρεύματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

9.2 Το Ανώμαλο Τρίγωνο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

9.3 Ακύρωση της ανωμαλίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

9.4 Αλλες εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

9.4.1

Οι ιδιοτιμές του τελεστή Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

9.4.2 Κβαντική Χρωμοδυναμική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

10 Θεωρίες Υang-Mills  377

10.1 Κανόνες Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

10.2 Διαγράμματα ενός βρόχου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

10.3 Επανακανονικοποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

10.4 Συνάρτηση β και Τροχιές Επανακανονικοποίησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

10.5 Δράση στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

10.5.1 Αβελιανό πεδίο βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

10.5.2 Ασθενής ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

10.5.3 Βρόχος του Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

10.5.4 Ισχυρή ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

10.5.5 Μη-Αβελιανά πεδία βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

10.5.6 Ασθενής ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

10.5.7 Ισχυρή ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

10.6 Η ενεργός χορδή και ο όρος Lüscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

11 Θεωρία ϕ4  407

11.1 Ανώμαλες διαστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

11.1.1 Τροχιές Επανακανονικοποίησης (RG flows) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

11.1.2 Σημείο Wilson-Fisher και κρίσιμοι εκθέτες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

11.1.3 Υπολογισμός των Κρίσιμων Εκθετών γ και η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

11.1.4 Ανάμειξη Τελεστών και Περιττοί Τελεστές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

11.2 Τελεστές υψηλής διάστασης και η αστάθεια Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . 423

11.3 Επανακανονικοποιησιμότητα - ή μή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

12 Ο Κβαντικός Μηχανισμός Higgs  439

12.1 Το Κβαντικό Ενεργό Δυναμικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

12.1.1 Η ϕ4 θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

12.1.2 Βαθμωτή Ηλεκτροδυναμική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

12.1.3 Το άμαζο όριο και ο μηχανισμός Coleman-Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . 451

12.2 Βαθμωτή Ηλεκτροδυναμική στη Μοναδιαία Βαθμίδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

12.2.1 Γυρίνοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

12.2.2 Μάζα του Z  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

12.2.3 Μάζα του Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

12.2.4 Η τριπλή κορυφή του Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

12.2.5 Η τετραπλή κορυφή του Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

12.2.6 Επανακανονικοποίηση του Δυναμικού Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

12.2.7 Οι συναρτήσεις-β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

13 Σύμμορφη Θεωρία Πεδίου  475

13.1 Η σύμμορφη ομάδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

13.2 Συσχετιστές 2 και 3 βαθμωτών τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

13.2.1 Ο συσχετιστής Σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

13.2.2 Το θεώρημα-c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

13.2.3 Ο συσχετιστής Σ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

13.3 Συσχετιστής N βαθμωτών τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

13.4 Ο τανυστής Ενέργειας-Ορμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

13.5 Κρίσιμοι Εκθέτες από την Σύμμορφη Θεωρία Πεδίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

14 Θερμοκρασία σε πραγματικό χρόνο   529

14.1 Το ολοκλήρωμα διαδρομής Schwinger-Keldysh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53114.2 Θερμοκρασία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

14.2.1 Ο θερμικός διαδότης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

14.3 Η βάση των σύμφωνων καταστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

15 Επίλογος                                                                     551

16 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ                                                        553

16.1 Α: Σπινοριακή αναπαράσταση της ομάδας Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

16.2 Β: Ταυτότητες πινάκων γ του Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

16.3 Γ: Υπολογισμός ολοκληρωμάτων ορμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

16.3.1 Παράμετροι Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

16.3.2 Περιστροφή Wick και υπολογισμός ολοκληρωμάτων ορμής

16.3.3 Διαστατική Εξομάλυνση - Βασικοί Μαθηματικοί τύποι  . . . . . . . . . . 558

16.3.4 Παράγοντες συμμετρίας διαγραμμάτων Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . 564

16.3.5 Το λεξιλόγιο Passarino-Veltman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

16.3.6 U -ολοκληρώματα σε Γυρίνους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

16.3.7 U -ολοκληρώματα σε διορθώσεις μάζας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

16.3.8 U -ολοκληρώματα σε Τρίγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

16.3.9 U -ολοκληρώματα σε Τετράγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

16.4 Δ: Διακριτές ομάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

16.4.1 Διεδρικές ομάδες και η περιστροφική συμμετρία κανονικών πολυγώνων . . . 577

16.4.2 Συμμετρία κανονικών στερεών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

16.5 Ε: Συνεχείς ομάδες Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

16.5.1 Η γεωμετρία των ομάδων Lie  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

16.5.2 Κατηγοριοποίηση των ημι-απλών αλγεβρών Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

16.5.3 Αναπαραστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

16.5.4 Ολοκληρώματα και χαρακτήρες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

16.5.5 Κατασκευή αναπαραστάσεων . .